MIT 18.03 Differential Equation - 3.1 Fourier Series
引
对于二阶常系数非齐次ODE $y’’ + ay’ + by = f(t)$
将$f(t)$展开成傅里叶级数 ($f(t)$是周期函数) ($T = 2\pi$)
\[f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}\]分别求response 再根据叠加原理相加即可得到最终的response
傅立叶级数中n = 1的项 叫做基波 fundamental (疑车无据)
n > 1 的项叫做谐波（或高次谐波/泛音）higher harmonics (or overtones)
Orthogonal 正交化
两个函数内积为0则正交(将函数当作向量)
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx = 0\]$sin(nt),cos(nt)(n = 1,…,\infty)$是线性空间上的一组标准正交基 任意两不同向量内积都为0
PROOF
- 三角恒等式
- 复指数
- ODE
ODE PROOF
let $m\neq n$ , $u_{n}, v_{n}$为正交基里任意两个函数 满足ODE $u’‘+n^2u = 0$
\[\int_{-\pi}^{\pi}u''_{n}v_{m}dt = u'_{n}v_{m}|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}u'_{n}v'_{m}dt\\=-\int_{-\pi}^{\pi}u'_{n}v'_{m}dt\qquad 对称\\=-n^2\int_{-\pi}^{\pi}u_{n}v_{m}dt\qquad 根据ODE得到\ 不对称\ 有n\] 根据对称性 $\int_{-\pi}^{\pi}u_{n}v_{m}dt$ 必为0
Projection 投影
如何得到系数？– 即计算f(t)在一个基向量上的投影
\[f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}\]两边同时点乘$cos(kt)$/$sin(kt)$ 处本身以外 其余项都为0
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(kt)dt = a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}cos^2(kt)dt = \pi a_{k}\\\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(kt)dt = b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}sin^2(kt)dt = \pi b_{k}\]即可得到$a_{k}$或$b_{k}$
\[a_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(kt)dt\\ b_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(kt)dt\\\]关于$c_{0}$两边直接积分 (相当于两边同乘了一个$cos(0t)$)
\[\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt = 2\pi c_{0}\\c_{0} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt\]抑或是将$c_{0}$当作$\frac{a_{0}}{2}$ 就可以直接用通用的公式
例子：求方波的傅里叶展开式
略
小技巧：先下移1/2转换为奇函数 再上移性质/简化运算
Uniqueness 唯一性
一个函数只有唯一一种傅里叶展开
when $f(t) = g(t)$, then $F.S.f(t) = F.S.g(t)$
奇偶性
如果$f(t)$是偶函数 则傅里叶级数只包含$cos(nt)$项 （所有$b_{n}$是0）
\[f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt)}\]PROOF
by uniqueness of F.S.
\[f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}=\\f(-t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) - b_{n}sin(nt)}\]so $b_{n} = -b_{n}$, $b_{n} = 0$
同样的，如果$f(t)$是奇函数 则傅里叶级数只包含$sin(nt)$项（所有$a_{0}$是0）
当$f(t)$是偶函数时，$f(t)cos(nt)$也是一个偶函数，所以:
\[a_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)cos(nt)dt\]奇函数的乘积还是奇函数，$f(t)sin(nt)$为奇when$f(t)$为奇，所以:
\[b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)sin(nt)dt\]收敛性
分段光滑 piecewise smooth ：函数存在有限的不可微的点且在不可微的点左右极限都存在（即使他们可以不相等）
若$f(t)$是连续函数，则傅里叶级数收敛于$f(t)$
若$f(t)$是分段光滑的，连续处傅里叶级数收敛于$f(t)$，在跳跃间断点 傅里叶级数收敛于跳跃的中点 (左右极限的算数平均值)
拓展：迪利克雷条件
狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。即满足狄利克雷条件，则必然可以傅里叶展开；但可以傅里叶展开不一定满足狄利克雷条件。
- 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点
- 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个
- 在一周期内，信号是绝对可积的
拓展：吉布斯现象 Gibbs’ Phenomenon
取有限项傅立叶合成 在跳跃间断点总是有大于等于9%“跳跃量”的误差
例子：求锯齿波的傅里叶展开
略
小技巧：$cos(n\pi) = (-1)^n$核心
傅里叶级数尝试兼顾整个区间 在整个区间上逼近， 而不是像泰勒级数 在一个点附近逼近
拓展 Extension
改变周期
当周期是2L时
\[f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(\frac{n\pi}{L}t) + b_{n}sin(\frac{n\pi}{L}t)}\\ a_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ b_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi}{L}t)dt\\\]when $f(t)$ is even
\[a_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ b_{n} = 0\]when $f(t)$ is odd
\[b_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ a_{n} = 0\]周期延拓
傅里叶级数是针对有限区间的
针对非周期函数，取感兴趣的一段当成周期函数
- 偶延拓
- 奇延拓
具体解法
对于非阻尼二阶常系数ODE
\[x'' + \omega_{0}^2x = f(t)\]当$f(t)$为三角函数 \(\left\{\begin{matrix}cos(\omega_{n}t)\\sin(\omega_{n}t)\end{matrix}\right.\) 时，我们知道一个特解 \(x_{p}= \left\{\begin{matrix}cos(\omega_{n}t)\\sin(\omega_{n}t)\end{matrix}\right./{\omega_{0}^{2}-\omega_{n}^{2}}\)
所以，如果$f(t)$可以被傅里叶展开，
\[f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(\omega_{n}t) + b_{n}sin(\omega_{n}t)}\]则根据叠加原理我们可以得到一个特解response
\[x_{p} = f(t) = \frac{a_{0}}{2\omega_{0}^2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{a_{n}cos(\omega_{n}t) + b_{n}sin(\omega_{n}t)}{\omega_{0}^{2}-\omega_{n}^{2}}}\]其中$f(t)$的周期为$2L$, $\omega_{n} = \frac{n\pi}{L}$
另一种解法 待定系数 \(f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a'_{n}cos(\omega_{n}t) + b'_{n}sin(\omega_{n}t)}\) 带入ODE对比
系统响应
由上我们可知，当$\omega_{n}$越接近系统的固有频率时 系数越大 换句话说
系统不会对所有频率做出同等响应 而是会pick out接近它固有频率的频率
有时会引起共振