MIT 18.03 Differential Equation - 3.3 Convolution
引
已知两个拉普拉斯变换结果$F(s),G(s)$,
\[F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\ G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)dt\]它们的乘积$F(s)\cdot G(s)$为何？
我们知道拉普拉斯变换就是连续版的幂级数
于是我们可以用幂级数的乘积类比出卷积的公式
\[F(x) = \sum_0^\infty a_nx^n\\ G(x) = \sum_0^\infty b_nx^n\\ F(x)\cdot G(x) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^na_mb_{n-m})x^n\]幂级数的乘积的系数乘为柯西乘积，思考:
$x^n$项可以由$1,x^n$x相乘得到 可以由$x,x^{n-1}$相乘，$x^2,x^{n-2}$相乘，…，$x^m,x^{n-m}$相乘，…，$x^n,1$相乘得到，所以就得出$x^n$项的系数为柯西乘积
于是我们把这个式子变连续，即可得：
\[F(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}(\int_0^tf(u)g(t-u)du)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}(f*g)e^{-st}dt\]其中
\[\int_0^tf(u)g(t-u)du\]称为$f$和$g$的卷积，写作$f*g$
证明
用二重积分换元证明
\[F(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-su}f(u)du\cdot \int_{0}^{\infty}e^{-sv}g(v)dv\]根据小富比尼定理（$\text{Little Fubini’s theorem}$）
\[=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-s(u+v)}f(u)g(v)dudv\]令$t = u+v$, 换元
\[\left\{\begin{matrix} u = u\\ v = t-u \end{matrix}\right.\]雅可比行列式 $Jacobian$
\[J_T = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\]原积分区域施以逆变换\(T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), 即基向量\(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\) 变换为 \(\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}\)
即得到
\[=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t}e^{-st}f(u)g(t-u)J_T\ dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}(f*g)dt\]性质
摘自 wiki
交换律 \(f*g = g*f\)
结合律 \(f*(g*h) = (f*g)*h\)
分配律 \(f*(g+h) = (f*g) + (f*h)\)
数乘结合律 \(a(f*g) = (af)*g = f*(ag)\) a为任意实数（或复数）
微分定理 \(\mathcal{D}(f*g) = \mathcal{D}f*g = f*\mathcal{D}g\)
理解卷积
可以理解为$f(t)$为系统的元素输入率，$g(t)$理解为系统元素本身的变化比率
e.g. 核废料填埋
填埋率为$f(t)$,衰变率$g(t) = e^{-kt}$
某一时间$u$填进废料$f(u)du$ 这一堆放射性废料在$t$时刻衰变为原来的$e^{-k(t-u)}$倍
所以$t$时刻的放射性物质为$f$和$g$的卷积 即
\[\int_0^tf(u)e^{-k(t-u)}du\]