MIT 18.03 Differential Equation - 3.4 Paul-Dirac δ Function
引
首先了解一下什么是单位脉冲 unit impulse
其实就是单位冲量
对系统的影响写成一个微分方程
\[y'' + y = \frac{1}{h}u_{oh}(t)\]我们的任务是研究单位脉冲对系统的影响，于是Laplace变换来乐
(大雾)
\[\frac{1}{h}u_{oh}(t) = \frac{1}{h}(u(t)-u(t-h)) \leadsto \frac{1}{h}\frac{1-e^{-hs}}{s}\]那末，当冲击时间越来越短 但是冲量保持1不变 拉普拉斯变换会怎么样？
\[\lim\limits_{h \to 0}\frac{1-e^{-hs}}{hs} = 1\]图像呢？
…h越来越小，1/h越来越大，方块面积不变，但越来越窄，越来越高…
于是我们得到了狄拉克δ函数δ(t) Paul Dirac’s Delta Function，它是一个广义函数，在除了零以外的点函数值都等于零，零处的值无法严谨表达，但是其在整个定义域上的积分等于1，拉普拉斯变换为1
与卷积的关系
$u(t)f(t)*\delta(t)\leadsto F(s)\cdot 1$ (根据卷积的定义)
$u(t)f(t)\leadsto F(s)$
所以$u(t)f(t)*\delta(t) = u(t)f(t)$
$\delta(t)$是卷积运算的identity
与单位跃阶函数的关系
$u’(t) = \delta(t)$ 广义导数 generalized derivatives 显然又不那么显然 但是在运算中它表现出了正确性
对系统的影响
对系统“踢”(kick) 了一脚 意味着瞬时施加的一个量
e.g. 对 $y’’ + y = A\delta(t-\frac{\pi}{2})$
在$\frac{\pi}{2}$对系统踢了一脚施加了A的冲量
先拉氏变换
\[s^2Y-s+Y = Ae^{-\frac{\pi}{2}s}\cdot 1\\ Y = \frac{s}{s^2+1} + \frac{Ae^{-\frac{\pi}{2}s}}{s^2+1}\]再逆变换
\[y = cos(t) + Asin(t-\frac{\pi}{2}) = \left\{\begin{matrix} cos(t), t\in [0,\frac{\pi}{2}]\\ (1-A)cos(t), t\geqslant \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.\]根据A的不同 系统在$\frac{\pi}{2}$有不同相应
传递函数/系统的加权函数/冲激响应
对于一个初值为0的二阶系统
\[y'' + ay' + by = f(t), y(0) = 0,y'(0) = 0\]拉普拉斯变换
\[s^2Y + asY + bY = F(s)\\ Y = F(s)\frac{1}{s^2+as+b}\]如何求响应y？ 计算$f(t)$和$\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+as+b})$的卷积
$\frac{1}{s^2+as+b}$ 只取决于系统 称为传递函数 transfer function 记作$W(s)$或$H(s)$
其拉普拉斯逆变换为 系统的加权函数 weight function of the system 记作$W(t)$
那末 $W(t)$的意义具体是什么？
即单位冲激响应 unit impulse response 给予一个零状态系统单位冲激得到的响应
\[y'' + ay' + by = \delta(t)\\ s^2Y + asY + bY = 1\\ Y = \frac{1}{s^2+as+b}\\ \mathcal{L}^{-1}(Y) = W(t)\]所以常系数二阶线性系统的响应y被表示了出来
Green’s Formula
\[y = \int_{0}^{t}f(u)w(t-u)du\]可以理解为一直踢踢踢踢踢踢……
Marvelous！
ps: 传递函数可以表示为$\frac{output}{input}$这对于所有系统都适用