MIT 18.03 Differential Equation - 4.2 Fundamental Matrix

01 Feb 2020 - 1 minute read

常微分方程组（二）：部分理论及常系数非齐次线性方程组

• 常微分方程组（二）：部分理论及常系数非齐次线性方程组
  • 关于线性微分方程组的理论
    • Theorem A
    • Theorem B Wronskian vanishing theorem
    • 存在唯一性理论 Existence and uniqueness theorem
    • Linear independence theorem
    • General solution theorem
    • 线性非齐次方程组的类似理论
  • 系统的基本矩阵
    • 性质
    • 正交基本矩阵
  • 一阶常系数非齐次线性方程组
    • Theorem C
    • 参数变分法 variation of parameters

关于线性微分方程组的理论

对于线性齐次方程组$\textbf{x}’ = A\textbf{x}$

系数矩阵$A$可以是关于t的函数$A(t)$（矩阵值函数 matrix-valued function）

Theorem A

$\textbf{x}’ = A\textbf{x}$的通解为$\textbf{x} = c_1\textbf{x}_1 + c_2\textbf{x}_2 + \cdots + c_n\textbf{x}_n$ 且这就是所有的解

Theorem B Wronskian vanishing theorem

对于方程组的一组解

朗斯基行列式 Wronskian $W(\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\cdots,\textbf{x}_n) := |\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\cdots,\textbf{x}_n|$ 是关于自变量t的函数

这组解线性相关 iff $\forall t, W(t) = 0$

这组解线性无关 iff $\forall t, W(t) \neq 0$

没有其他情况

存在唯一性理论 Existence and uniqueness theorem

如果矩阵值函数$A(t)$的每一元素都在开区间$I$上连续，则IVP

$$\textbf{x}' = A(t)\textbf{x},\qquad \textbf{x}(t_0) = \textbf{x}_0\qquad(t\in I)$$

在$I$上有且仅有一个解$\textbf{x}(t)$

Linear independence theorem

若$\textbf{x}_1(t)$和$\textbf{x}_2(t)$是齐次系统在区间$I$上的两个解 且存在$t_0\in I$使得$\textbf{x}_1(t_0)$,$\textbf{x}_2(t_0)$线性无关，则

• 解$\textbf{x}_1(t)$和$\textbf{x}_2(t)$在$I$上线性无关
• $\forall t_1\in I$, 向量$\textbf{x}_1(t_1)$和$\textbf{x}_2(t_1)$线性无关

General solution theorem

• n元系统有n个线性无关的解

• 如果$\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\cdots,\textbf{x}_n$是n个线性无关的解 那末每一个解$\textbf{x}$都能被写成

  $\textbf{x} = c_1\textbf{x}_1 + c_2\textbf{x}_2 + \cdots + c_n\textbf{x}_n$的形式 通过选取适当的$c_1\sim c_n$

线性非齐次方程组的类似理论

对于线性非齐次方程组 $\textbf{x}’ = A(t)\textbf{x} + \textbf{F}(t)$ 也有类似的结论

• 线性

• 叠加原理

  若$\textbf{x}_1’ = A\textbf{x}_1+\textbf{F}_1$, $\textbf{x}_2’ = A\textbf{x}_2+\textbf{F}_2$

  则$\textbf{x} = \textbf{x}_1+\textbf{x}_2$满足$\textbf{x}’ = A\textbf{x}+\textbf{F}_1+\textbf{F}_2$

• 存在唯一性 Existence and uniqueness

  如果$A(t)$与$\textbf{F}(t)$连续 则对于一个IVP存在一个唯一的解

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系统的基本矩阵

就是朗斯基矩阵

$X:=[\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\cdots,\textbf{x}_n]$

$\textbf{x}_1,\textbf{x}_2,\cdots,\textbf{x}_n$是一组线性无关解

通解可表示为$\textbf{x} = X\textbf{c}$

因为只要是线性无关即可 所以$X$不是唯一的

得到一个$X$,就可以通过$XC$得到别的所有$X$,其中$C$是det不为零的常数方阵

性质

1. $\forall t,\ |X|\neq0$

2. $X’ = AX$ 矩阵微分方程

   易证：

   $AX = A[\textbf{x}_1,\cdots,\textbf{x}_n] = [A\textbf{x}_1,\cdots,A\textbf{x}_n]$

   $X’ = [\textbf{x}’_1,\cdots,\textbf{x}’_n]$

   $A\textbf{x}_1 = \textbf{x}’_1,\cdots,A\textbf{x}_n = \textbf{x}’_n$

3. 对于IVP $\textbf{x}’ = A(t)\textbf{x},\quad \textbf{x}(t_0) = \textbf{x}_0$

   $X(t_0)\textbf{c} = \textbf{x}(t_0)$

   $\textbf{c} = X(t_0)^{-1}\textbf{x}_0$

   所以通解$\textbf{x} = XX(t_0)^{-1}\textbf{x}_0$

正交基本矩阵

若基本矩阵$\tilde{X}_{t_0}$满足 $X(t_0) = I$ 即$\textbf{x}_1(t_0) = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, $\textbf{x}_2(t_0) = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

则称$\tilde{X}_{t_0}$为在$t_0$处的正交基本矩阵 normalized fundamental matrix 且该矩阵唯一

则IVP的解为

$$\textbf{x} = \tilde{X}\tilde{X}(t_0)^{-1}\textbf{x}_0 = \tilde{X}I\textbf{x}_0 = \tilde{X}\textbf{x}_0$$

找到正交基本矩阵后就很容易解决IVP 适用于同一个系统 多个IVP

如何寻找正交基本矩阵?

先找到一个基本矩阵$X$ 则

$$\tilde{X}_{t_0}(t) = X(t)X(t_0)^{-1}$$

容易证明（就是解方程组）

也容易验证其为系统的解（略）

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一阶常系数非齐次线性方程组

$$\left\{\begin{matrix} x' = ax+by+r_1(t)\\ y' = cx+dy+r_2(t) \end{matrix}\right.$$

即$\textbf{x}’ = A\textbf{x}+\textbf{r}(t)$

Theorem C

一阶常系数非齐次线性方程组的通解$\textbf{x} = \textbf{x}_c + \textbf{x}_p$ 用线性和叠加原理易证

参数变分法 variation of parameters

特解$\textbf{x}_p$有如下形式

$$\textbf{x}_p = v_1(t)\textbf{x}_1 + \cdots + v_n(t)\textbf{x}_n$$

注意 其中$\textbf{x}_1,\cdots,\textbf{x}_n$为齐次方程组的解

写成矩阵形式

$$\textbf{x}_p = X\textbf{v}$$

带入系统$\textbf{x}’ = A\textbf{x}+\textbf{r}(t)$

易证$(X\textbf{v})’ = X’\textbf{v}+ X\textbf{v}’$

$$X'\textbf{v}+ X\textbf{v}' = AX\textbf{v} + \textbf{r}$$

因为$X’ = Ax$, 所以

$$X\textbf{v}' = \textbf{r}$$ $$\textbf{v}' = X^{-1}\textbf{r}$$ $$\textbf{v} = \int X^{-1}\textbf{r}\ dt$$

所以特解

$$\textbf{x}_p = X \int X^{-1}\textbf{r}\ dt$$

积分后无需加上常数项 因为我们只需要找到一个解

如果积分后加上常数项$\textbf{c}$ 注意到$X\textbf{c}$即为通解$\textbf{x}_c$

所以通解就是$\textbf{x} = X \int X^{-1}\textbf{r}\ dt$ 不定积分需要加上常数项

结合常系数线性方程的一阶系统化 能够解决任意输入的问题