MIT 18.03 Differential Equation - 4.4 Matrix Exponential

01 Feb 2020 - Less than 1 minute read

常微分方程组（四）：矩阵指数及其应用

• 常微分方程组（四）：矩阵指数及其应用
  • 解IVP
  • 指数公式
  • 矩阵指数的逆矩阵
  • 计算矩阵指数
  • $e^{At}$与$A$特征值与特征向量的关系

类比$x’ = ax$ 的解$ce^{at}$

$e^{At}$ 矩阵指数定义如下

\[e^{At} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots=\sum_{n = 0}^\infty \frac{A^nt^n}{n!}\]

带入系统$X’ = AX$ 易证$e^{At}$是系统的解

解IVP

当$\textbf{x}(0) = \textbf{x}_0$

我们知道通解$\textbf{x} = X\textbf{c} = e^{At}c$

将0带入 得$c = \textbf{x}_0$

所以IVP的解为$\textbf{x} = e^{At}\textbf{x}_0$

ps: $e^{At}$就是在0处的正交基本矩阵

指数公式

$e^{A+B} = e^{A}e^{B}$ iff $AB = BA$

常见的可交换情形

• $A = cI$
• $B = -A$
• $B = A^{-1}$

矩阵指数的逆矩阵

$e^{A}$的逆矩阵为$e^{-A}$

$A$与$-A$可交换

所以$e^{A-A} = I = e^{A}\cdot e^{-A}$, Q.D.E.

计算矩阵指数

• 级数

  暴力计算/对角化求解

  对角化的话因为逆对角化的矩阵是一样的 所以级数部分可以合并

  最后变成特征值的指数作为对角线 再逆对角化

• 对于2x2对称矩阵

  \[\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&b\\b&0\end{pmatrix}\]

  两矩阵可交换 可以用指数法则拆开

• $e^{At} = XX^{-1}(0)$

  • $X^{-1}(0)$为常数矩阵 所以$XX^{-1}(0)$仍为基本矩阵
  • $X(0)X^{-1}(0) = I$
  • 这两点性质$e^{At}$都具备
  • 其实就是在0处的基本正交矩阵

事实上计算过程没有简化 同样也要求出特征值和特征向量来得到基本矩阵$X$，只不过换了一种语言来表示解

$e^{At}$与$A$特征值与特征向量的关系

若$A$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$,特征向量为$\textbf{x}_1,\cdots,\textbf{x}_n$

则$e^A$的特征值为$e^{\lambda_1},\cdots,e^{\lambda_n}$，特征向量仍为$\textbf{x}_1,\cdots,\textbf{x}_n$

但是反过来却不一定 仍存疑

可以参考这个

what-are-sufficient-conditions-for-a-matrix-to-have-the-same-eigenvectors-as-its

及该问题的说明

矩阵与其指数函数特征值与特征向量的关系?