MIT 18.03 Differential Equation - 4.5 Portrait
常微分方程组（五）：作图问题
2x2常系数齐次方程组作图
步骤
- 先画出4个简单的解 c1 = ±1 c2 = 0；c1 = 0 c2 = ±1 （两条直线）
- 画别的解 在t趋于±∞时分析哪一项占主导
情况
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两特征值为负 nodal sink， asymptotic stable 渐进稳定
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两特征值为正 nodal source，unstable 不稳定
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两特征值一正一负 saddle，unstable 不稳定
- 特征值复数
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负实部 spiral sink/asymptotically stable spiral 螺旋向内
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正实部 螺旋向外 unstable spiral
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实部为0 stable center 椭圆
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缺陷特征值 defective node
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大于0 不稳定
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小于0 稳定
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等于0
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完备特征值 star node
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大于0 不稳定
射线中心向外辐射
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小于0 稳定
射线由外向中心辐射
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特征值为0
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$\lambda_1 = 0 > \lambda_2$ 一条线都是临界点 稳定
$\textbf{x} = c_1\textbf{v}_1 + c_2e^{\lambda_2t}\textbf{v}_2$
即仿射子空间
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$\lambda_1 = 0 < \lambda_2$ 一条线都是临界点 不稳定
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$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ 每一个点都是临界点 都是稳定点
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特征值为实数且完备时 是可以得到关于xy的方程 进而精确画出图像的
迹-行列式图 Trace-Determinant Diagram
0点 即$det(A) = tr(A) = 0 $ 时 除了所以entry为0外 对应缺陷特征值 = 0 的情况
x轴 除0点 对应特征值一0 一实数的情况
抛物线 除了矩阵为scaling矩阵是star node以为 其余都对应缺陷特征值不为0的情况
图片来源：18.03SC 讲义
非线性自治方程组作图
对于非线性一阶微分自治方程组
\[\left\{\begin{matrix} x' = f(x,y)\\ y' = g(x,y) \end{matrix}\right.\]作图原则
若$f(x,y),g(x,y)$是光滑的（偏导存在且连续），则解的轨迹不会相交
作图步骤
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找到临界点
$f(x_0,y_0) = g(x_0,y_0) = 0$
解保持不变 有稳定和不稳定之分
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在每个临界点附近线性化方程组
画出线性方程组的轨迹
两种方法
- 线性近似某一项
e.g. 在0附近$sin(\theta)\sim \theta$
不常用 且不general
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雅可比矩阵 Jacobi Matrix
\[\begin{pmatrix}f_x&f_y\\g_x&g_y\end{pmatrix}\]因为雅可比矩阵就是一个局部的线性变换
所以在某一点$(x_0,y_0)$附近计算该点的雅可比矩阵
就得到了这点附近变换的线性近似!
即
\[\begin{pmatrix}f(x,y)\\g(x,y)\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}f_{x_0}&f_{y_0}\\g_{x_0}&g_{y_0}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]所以在$(x_0,y_0)$附近的非线性方程组可以近似为$\textbf{x}’ = J_{\textbf{x}_0}\textbf{x}$ !
太妙了！
之后只要求特征值用线性系统图像近似即可
但是遇到边界线borderline情况时 不能单纯近似
边界线问题 Borderline
当雅可比矩阵计算出的特征值为0/重根/纯虚 时 就是边界线情况 不能单纯近似/近似是有缺陷的
一般通过相除转化为一阶方程解决 $\frac{dy}{dx} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}$