MIT 18.03 Differential Equation - 4.6 limit Cycle
常微分方程组（六）：极限环与混沌
回顾
非线性一阶微分自治方程组
\[\left\{\begin{matrix} x' = f(x,y)\\ y' = g(x,y) \end{matrix}\right.\]速度场
$\omega = f(x,y)dx + g(x,y)dy$
方程组的解 / 轨迹 trajectory
\[\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\]切向量/速度向量
\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\]临界点
\(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_0\\y_0\end{pmatrix}\) 常数解 \(\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) 速度向量为0
闭合轨迹 Closed Trajectory
周期回到原始状态的方程组
极限环 Limit Cycle
按照课上说法：
-
闭合轨迹
-
孤立
- 它旁边没有一样性质的环
- 用我理解的数学语言：存在一个δ>0 使得它与周围的闭合轨迹的最短距离大于δ
-
稳定
- 周围的轨迹会不断靠近它 但是永远不会相交
- 是周围轨迹的极限
-
简单曲线
-
永远不会与自己相交
试想一下如果相交 交点的向量场指向哪里
-
按照讲义说法：
闭合轨迹有以下四种
-
稳定极限环 Stable limit cycle
内外轨迹都逼近环
-
不稳定极限环 Unstable limit cycle
内外轨迹都远离环
-
半稳定极限环 Semi-stable limit cycle
内外轨迹一逼近一远离
-
中立稳定中心 Neutrally-stable center
不孤立的一系列闭合轨迹
存在性
庞加莱-本迪克松定理 Poincare-Bendixson Theorem
其实这叫 庞加莱-本迪克松环域定理 Poincare-Bendixson Ring Domain Theorem
假设$R$是一个被两条简单曲线$D_1,D_2$包围的环域 且$D_2$被完全包围在$D_1$中，$F$是系统的速度场
若
- 在$D_1,D_2$的每一点 速度场都指向$R$
- $R$中无临界点
则系统在$R$中存在一个闭合轨迹
直观理解：一条轨迹一旦进入了$R$ 就出不去了 （抑或是从R里开始的轨迹）因为在边界的速度场方向都指向内部 那末它只能逼近一个临界点或是一个极限环 而根据假设 $R$内部没有临界点 所以只能是闭合轨迹（不可能是不稳定极限环 只可能是另三种情况）
EXAMPLE
consider the system
\[x' = -y+x(1-x^2-y^2)\\ y' = x+y(1-x^2-y^2)\]速度场$\textbf{x}’ = F = (-y\textbf{i} + x\textbf{j})+(1-r^2)(x\textbf{i}+y\textbf{j})$
其中r为到原点的距离 第一项是以原点为中心半径为r的圆的切向量 第二项是指向原点的法向量
选取曲线$D_1,D_2$分别为半径为2，1/2的以原点为圆心的圆 中间的环状区域称为R
当半径为2时 法向量指向圆心 即指向R内部
当半径为1/2 法向量指出圆心 也指向R内部
又因为(0, 0)为系统唯一的临界点（易验证） 不在R内
- \[0 = -y+x(1-r^2)\\ 0 = x+y(1-r^2)\]
- $x+x(1-r^2)^2 = 0\Rightarrow x(1+(1-r^2)^2) = 0$ 右项必大于0 所以x必为0 类似的可得y必为0
所以根据Poincare-Bendixson Ring Domain Theorem，R内部存在闭轨迹
易验证$x = cos(t),y = sin(t)$为系统的解 所以单位圆为R内部的一个闭合轨迹
分析速度场 知
当$r>1$时 $F$指向原点
当$0<r<1$ 时 $F$指离原点
所以处单位圆外系统的轨迹只能无限靠近单位圆
说明单位圆为稳定极限环 且为系统唯一的极限环
不存在性
本迪克松准则 Bendixson’s Criterion
for a region $D$ of the phase plane of the system, if
\[div\overrightarrow F = f_x + g_y \neq 0\]for all $\textbf{x}\in D$, where $f,g$ are C-1 functions（一阶偏导存在且连续）, then there is no closed trajectory in D
PROOF
反证法
假设区域$D$内有一闭合轨迹$C$ 其内部区域为$R$
则向量场$F$通过$C$的通量$\Phi$为
\[\oint_{C}F\cdot \hat{n}\ ds\]其中$\hat{n}$为每一点的法向量
一方面，由于$C$是向量场的一个轨迹 所以其处处与$F$相切 即$\hat n$处处与$F$垂直
所以$\Phi = 0$
另一方面，根据格林公式
\[\oint_{C}F\cdot \hat{n}\ ds = \iint_R divF dA\]因为$f,g$偏导存在且连续 所以$divF$在$D$上连续
又因为$divF$在$D$上处处不为0 所以要么$divF$ 散度处处大于0 要么处处小于0
（若有正有负 因为散度连续 两区域连线必有一处散度为0，矛盾）
所以通量$\Phi$要么大于0要么小于0
与前者矛盾
Q.E.D
临界点准则 Critical Pt. Criterion
for a region $D$ of the phase plane of the system, if there is no critical point in $D$, then there is no closed trajectory in $D$
EXAMPLE
for system
\[\left\{\begin{matrix} x' = x^3+y^3\\ y' = 3x+y^3+2y \end{matrix}\right.\]$divF = 3x^2+3y^2+2\neq 0$ 所以其在相平面里无极限环
for system
$$ \left{\begin{matrix} x’ = x^2+y^2+1\ y’ = x^2-y^2 \end{matrix}\right.
$$ $divF = 2x+2y$ 在$y = -x$上，$divF = 0$ 所以只能判断去掉这根线的区域没有极限环 不能判断整个相平面上是否存在
但是 根据临界点准则 $x’\neq 0$，所以不存在临界点 也自然不存在极限环
ps: 逆否命题是 一个闭合轨迹内部必有一个临界点
A STORY
二次系统 quadratic system 是除线性系统外最简单的系统 其形式为
\[\left\{\begin{matrix} x' = a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1\\ y' = a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2 \end{matrix}\right.\]捕食者-猎物模型 知更鸟-蚯蚓模型都是典型的这一类系统
1880年提出的问题
一个二次系统最多能有几个系统？
困扰人们至今
在改革提出的20-30年内 人们尝试论证 都都有缺陷
直到1950年左右 两个俄国数学家 佩特洛夫斯基和兰迪斯 其中一个非常有名 佩特洛夫斯基 常微分方程组方面的专家
发表了长达一百多页的论文 “证明”了最大的数量是三个
很少有人能看懂 看得懂的发现其中的某些论证有缺陷 著名俄国数学家Arnold批判了这篇论文
此后人们尝试着修补它
到了1975年
我国数学家史松龄和王明淑（数学大师秦元勋的学生）举出了有四个极限环的二次系统的具体例子 （当然其中系数都是很离谱的那种）此后人们就不再修补佩特洛夫斯基和兰迪斯的论证了
有幸找到了那篇论文
ps: 王明淑的儿子是当代著名数学家田刚（北大副校长） 果然是有其母必有其子么
亚瑟教授在第31讲最后讲了个关于这个的故事 十分有趣 建议观看
混沌
Liénard equation
对于系统
\[x''+u(x)x'+v(x) = 0\]若$f,g$为在$R$上连续的函数 且$f$为偶函数 $g$为奇函数 则该系统称之为Liénard equation
可以理解为一个弹簧-质量系统 阻尼随位置变化（e.g. 弹簧穿过一个密度变化的介质）弹性系数取决于弹簧是怎么伸展的
把其化为一阶系统
\[x' = y\\ y' = -v(x)-u(x)y\]该系统含有且仅有一个极限环 且该极限环必稳定的条件为
Levinson-Smith Theorem
-
$u(x)$为偶函数 且连续
-
$v(x)$为奇函数 且连续 且$v(x)>0$若$x>0$
-
$V(x)\rightarrow \infty$ as $x\rightarrow \infty$ , where $V(x) = \int_0^xv(t)dt$
-
$\exists k>0,s.t.$
$U(x)<0$ for $0<x<k$
$U(x)>0$ 且递增 for $x>k$
$U(x)\rightarrow \infty$ as $x\rightarrow \infty$
where $U(x) = \int_0^xu(t)dt$
则系统有
- 唯一临界点$(0,0)$
- 唯一非零闭合轨迹$C$ 且为包含原点的稳定极限环
- 所有非零轨迹旋转逼近$C$ 当$t\rightarrow \infty$
应用：范德波尔方程 van der Pol equation
\[x''-a(1-x^2)x'+x = 0\]描述的是真空管内部电流的情况 a为正常数 取决于真空管类型 有唯一周期解
混沌理论相关可以看相关科普 做不动乐（ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛）
讲义里提到了 离散逻辑斯蒂方程（逻辑斯蒂映射/单峰映射）Discrete Logistic Equation ,费根鲍姆常数 Feigenbaum constant，受迫杜芬方程 The forced Duffing Equation，洛伦兹奇异吸引子 Lorenz Strange Attractor