MIT 18.03 Differential Equation - 4.7 Nonlinear Eq
常微分方程组（七）：非线性方程和一阶方程组的关系
引入
非线性一阶自治方程组
\[\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \frac{dy}{dt} = g(x,y) \end{matrix}\right.\]画出的图是向量场
曲线是轨迹 trajectory 有方向
当把下式除以下式时
\[\frac{dy}{dx} = \frac{g(x,y)}{f(x,y)}\]就得到了一阶方程
画出的图由于没了时间变量t 没有方向 是方向场 （回顾第一课）
而曲线是积分曲线 也没有方向 可以是显函数也可以是隐函数
得到的一阶方程就是方程组的一个退化 丧失了关于t的所有信息
那末这样有什么用呢？
可以跟容易地解出线性方程 或研究轨迹的性质
for example
\[\left\{\begin{matrix} x' = y\\ y' = -x \end{matrix}\right.\]下上相除
\[\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}\]分离变量很容易求解
另一个例子
捕食者-猎物模型
\[\left\{\begin{matrix} x' = -ax+bxy\\ y' = cy-dxy \end{matrix}\right.\]又叫洛特卡－沃尔泰拉方程 Lotka-Volterra equations
我们让x代表sharx y代表yummyfish (笑)
-ax说明如果没有鱼 鲨鱼消亡速度和种群数量成正比 即指数式消亡
bxy说明鲨鱼或鱼越多 鲨鱼就越容易吃到鱼 增长率越大
cy和dxy类似
下面分析这个系统
分析捕食者-猎物模型
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找临界点
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易得 \(\left\{\begin{matrix}x' = 0\\y' = 0\end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix}x = \frac{c}{d}\\y = \frac{a}{b}\end{matrix}\right.\)
-
在每个临界点附近线性化方程组
画出线性方程组的轨迹
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(0, 0)附近
- xy很小可忽略
- 于是\(\left\{\begin{matrix}x' = -ax\\y' = cy\end{matrix}\right.\) 矩阵为\(\begin{pmatrix}-a&0\\0&c\end{pmatrix}\)
- 特征值为-a和c 一正一负 为saddle
- 分析一波显然是反比例函数的图像
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$(\frac{c}{d},\frac{a}{b})$附近
- 为了方便 另$a = b = c = d = 1$ 于是该点为(1, 1)
-
在(1, 1)计算雅可比矩阵 得\(J_{(1,1)} = \begin{pmatrix}-1+y&x\\-y&1-x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\)
- 即之前的例子 \(\left\{\begin{matrix}x' = y\\y' = -x\end{matrix}\right.\) 可知轨迹是圆
- 但是由于这是边界线 Borderline 即这种情况在迹-行列式图的y轴上 一点点小偏移都会造就轨迹的类型发生改变 可能会变成向外螺旋 也可能会变成向内螺旋 无法显然地分析出来乐 于是我们碰到了沃尔泰拉问题 Volterra Problem
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解决沃尔泰拉问题
将系统转化为一阶方程 下上相处得
\[\frac{dy}{dx} = \frac{y(1-x)}{x(-1+y)}\]于是可以分离变量求解！高中生都会做！
分类变量求解为
\[\frac{xy}{e^xe^y} = c\]这就是一个contour 等高线啊！
研究一下$\frac{u}{e^u} = ue^{-u}$的图像
不难看出$h(x,y) = \frac{xy}{e^xe^y}$的图像就是一座山
既然是山的contuor 那必不可能是螺旋 还是一个闭合轨迹 于是这个捕食者-猎物模型的轨迹被我们分析出来乐
从图像上来看 捕食者多的时候 猎物减少；猎物少了 捕食者吃不到东西减少；捕食者减少 猎物增加；捕食者增加 猎物减少…… 循环往复 也符合自然直觉
沃尔泰拉法则
如果以特定速率k捕鱼 则方程组如下
\[\left\{\begin{matrix}x' = -ax+bxy-kx\\y' = cy-dxy-ky\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x' = -(a+k)x+bxy\\y' = (c-k)y-dxy\end{matrix}\right.\]单纯改变了系数
于是除(0, 0)外的临界点变为了$(\frac{c-k}{d},\frac{a+k}{b})$
即点向左上移动
捕食者大致数量减少 猎物大致数量增多 即沃尔泰拉法则
EXAMPLE
美国以往发生蚊灾 人们往池塘里倒DDT来杀死蚊子 此举同样会杀死蚊子的天敌鱼
根据沃尔泰拉法则 鱼会减少 蚊子反而会增多
事实上人们也发现了这一现象 这并不直观