MIT 18.03 Some Complement
稳定性
二阶线性ODE所有系数为正 系统稳定
劳斯–赫尔维茨稳定性判据 Routh-Hurwitz conditions for stability
对于实系数多项式$p(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + \cdots + a_{n-1}z + a_n$
的赫维兹矩阵
的行列式的所有主子式 principal minors 为正则系统稳定
待定系数法
多项式输入
n阶ODE n次输入 有且仅有一个多项式解
用待定系数法求解
n次多项式 一般得到n次的响应
若p(D)最小微分数是k 那得到的是n+k次的响应/或者设最小微分为u 解完再积分
$xe^x$型
也是待定系数法
或者待定一个t的多项式$u(t)e^t$带入 转换为多项式输入的问题
算子
微分多项式算子有乘法交换律
shifting rule 对含指数类的函数（$e^tf(t)$）求导有极大帮助
substitution rule 对复指数类的函数求导有极大帮助
平移不变性/线性时间不变性
对于微分多项式算子有平移不变性
If $p(D)$ is a constant-coefficient differential operator and $p(D)x = q(t)$, then $p(D)y = q(t − c)$, where $y(t) = x(t − c)$.
频率响应和实际共振
对于系统$mx’‘+bx’+kx = Bcos(\omega t)$
增益gain $g = g(\omega) = \frac{1}{\sqrt{(k-m\omega)^2+b^2\omega^2}}$ 称为振幅响应
相位差phase lag $\phi = \phi(\omega) = Arg(p(i\omega)) = tan^{-1}(b\omega/(k-m\omega^2))$ 称为频率响应
如果振幅有peak 则我们称达到peak的频率$\omega_r$为实际共振频率 practical resonance frequency
如果阻尼过大 则不会有peak
通过求导 可得
\[\omega_r = \sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}}\]spring-driven mechanical system 共振频率和阻尼有关
dashpot-driven mechanical system 对于缓冲器驱动系统
共振频率是固有频率 此时gain = 1, 相位差为0
该系统和RLC电路是一类系统
对于spring-dashpot-driven system (同时驱动)
$x’‘+bx’+kx = ky+by’$
共振频率和阻尼有关 有相位差
\[g(\omega) = \sqrt{\frac{k^2+b^2\omega^2}{(k-m\omega^2)^2+b^2}}\]RLC电路
复阻抗 complex impedance 满足串并联欧姆定律
傅立叶级数
调傅立叶级数各个成分的相位的时候 虽然波形不一样 但是听起来是一样的 可能是因为耳朵里的细胞对于傅立叶成分特定频率产生共振 和相位无关
单位冲激响应 unit impulse response 施加δ(t)的响应 写成v(t)
单位跃阶响应 unit step response 施加u(t)的响应 写成w(t)
pre-initial conditions (at 0−) and postinitial conditions (at 0+)
一阶单位跃阶响应$u(t)(1/k)(1-e^{-kt})$
一阶单位冲激响应$u(t)e^{-kt}$
一阶冲激响应是不连续的 而二阶的是连续的 为什么？
高阶冲激响应 相当于在n-1阶导数造成了一个跃阶 jump 为什么？
单位冲激响应是单位跃阶响应的导数
指数阶
exponential order a
$|f(t)| < Me^{at}$
解析延拓 analytic continuation
闭环系统 black’s formula
\[Y = \frac{W}{1+gW}\]极点 Pole
最简分式的零点
指数增长率 exponential growth rate
最小的a
\[\lim\limits_{t \to \infty}\frac{f(t)}{e^{bt}} = 0\quad \text{for all b > a}\]f(t)的指数增长率是其拉普拉斯变换极点的最大实部