Fourier Series

Fourier Series解法Orthogonal 正交化Projection 投影性质/简化运算Uniqueness 唯一性奇偶性收敛性拓展：迪利克雷条件核心拓展 Extension改变周期周期延拓

Fourier Series

解法

$y'' + ay' + by = f(t)$

$f(t)$ $f(t)$ $T = 2\pi$ ）

f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}

分别求response 再根据叠加原理相加即可得到最终的response

Orthogonal 正交化

两个函数内积为0则正交(将函数当作向量)

\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx = 0

$sin(nt),cos(nt)(n = 1,...,\infty)$ 是线性空间上的一组标准正交基任意两不同向量内积都为0

PROOF

三角恒等式
复指数
ODE

ODE PROOF
$m\neq n$ $u_{n}, v_{n}$ $u''+n^2u = 0$
$\int_{-\pi}^{\pi}u''_{n}v_{m}dt = u'_{n}v_{m}|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}u'_{n}v'_{m}dt\\=-\int_{-\pi}^{\pi}u'_{n}v'_{m}dt\qquad 对称\\=-n^2\int_{-\pi}^{\pi}u_{n}v_{m}dt\qquad 根据ODE得到\ 不对称\ 有n$
$\int_{-\pi}^{\pi}u_{n}v_{m}dt$ 必为0

Projection 投影

如何得到系数？-- 即计算f(t)在一个基向量上的投影

f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}

$cos(kt)$ $sin(kt)$ 处本身以外其余项都为0

\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(kt)dt = a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}cos^2(kt)dt = \pi a_{k}\\\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(kt)dt = b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}sin^2(kt)dt = \pi b_{k}

$a_{k}$ $b_{k}$

a_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(kt)dt\\ b_{k} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(kt)dt\\

$c_{0}$ $cos(0t)$ ）

\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt = 2\pi c_{0}\\c_{0} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt

$c_{0}$ $\frac{a_{0}}{2}$ 就可以直接用通用的公式

例子：求方波的傅里叶展开式

略

性质/简化运算

Uniqueness 唯一性

一个函数只有唯一一种傅里叶展开

$f(t) = g(t)$ $F.S.f(t) = F.S.g(t)$

奇偶性

$f(t)$ $cos(nt)$ $b_{n}$ 是0）

f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt)}

PROOF
by uniqueness of F.S.
$f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) + b_{n}sin(nt)}=\\f(-t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(nt) - b_{n}sin(nt)}$
$b_{n} = -b_{n}$ $b_{n} = 0$

$f(t)$ $sin(nt)$ $a_{0}$ 是0）

$f(t)$ $f(t)cos(nt)$ 也是一个偶函数，所以：

a_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)cos(nt)dt

$f(t)sin(nt)$ $f(t)$ 为奇，所以：

b_{n} = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)sin(nt)dt

收敛性

$f(t)$ $f(t)$

$f(t)$ 是不连续的函数，有跳跃间断点，则在跳跃间断点傅里叶级数收敛于跳跃的中点 (左右极限的算数平均值)

拓展：迪利克雷条件

狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。即满足狄利克雷条件，则必然可以傅里叶展开；但可以傅里叶展开不一定满足狄利克雷条件。

在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点
在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个
在一周期内，信号是绝对可积的

例子：求扫描波的傅里叶展开

略

$cos(n\pi) = (-1)^n$

核心

傅里叶级数尝试兼顾整个区间在整个区间上逼近，而不是像泰勒级数在一个点附近逼近

拓展 Extension

改变周期

当周期是2L时

f(t) = c_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}cos(\frac{n\pi}{L}t) + b_{n}sin(\frac{n\pi}{L}t)}\\ a_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ b_{n} = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi}{L}t)dt\\

$f(t)$ is even

a_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)cos(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ b_{n} = 0

$f(t)$ is odd

b_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(t)sin(\frac{n\pi}{L}t)dt\\ a_{n} = 0

周期延拓

傅里叶级数是针对有限区间的

针对非周期函数，取感兴趣的一段当成周期函数

偶延拓

奇延拓